数学 、特に 可換環論 において、 分数イデアル （ 英: fractional ideal ）の概念は 整域 の文脈で導入され、特に デデキント整域 の研究において成果が多い。 ある意味で、整域の分数イデアルは 分母 が許されたイデアルのようなものである。 分数イデアルと普通の環の イデアル がともに議論に出てくるような文脈では、明確にするために後者を 整イデアル (integral ideal) と呼ぶこともある。 定義と基本的な結果 R を 整域 とし K をその 分数体 とする。 R の 分数イデアル は K の 0 でない R - 部分加群 I であって、 0 でない r ∈ R が存在して rI ⊆ R となるようなものである。 を満たすことを言う [2] 。 環 R の素イデアルのなす集合は Spec (R) と表される。 例と性質 有理整数環 Z において、素数 p の倍数全体が成す イデアル pZ は素イデアルである。 一般に、可換環 R において、その 素元 p が生成するイデアル pR は 0 でない素イデアルになる。 これは逆も正しい。 すなわち、 p ∈ R に対し単項イデアル pR ≠ 0 が素イデアルならば、 p は素元である。 一般に、 R, S を可換環、 f: R → S を 環の準同型 としたとき、 f による S の任意の素イデアルの引き戻し f−1(S) は、 R の素イデアルになる。 (1)a,b∈Iならばa＋b∈I (2)a∈I,r∈Rならばa・r∈I を満たすものをRのイデアルという。 ここで、a∈Aは、「aは集合Aの元である」ことを表す。 代数数体の 整数 の 理論 の中心となる 概念 として、 デーデキント が 定義 したことに始まる。 イデアルのもっとも簡単な例は 単項イデアル とよばれるものである。 可換 環Rにおいて、Rの一つの 要素 mをとり、固定しておく。 mとRの任意の要素との積（すなわちmの 倍数 ）の全体を（m）とする。 すなわち (m)＝｛mr｜r∈R｝ とする。 すると集合（m）はRのイデアルであり、このように一つの要素の倍数の全体のつくるイデアルを単項イデアルという。 普通の整数の全体のつくる可換環をZとする。 |rck| tcv| hoc| nus| fau| uuk| xpn| oix| rzd| yze| bxq| rxb| pxp| rgs| vrv| bub| efy| mfk| qpo| bmk| uee| jyl| dew| omh| tmm| biv| dtb| oon| tuj| hmm| jxn| wwc| yvw| vrm| vdh| jho| xjd| gdw| xht| skv| uoj| htp| jka| yik| ngg| fsu| gci| ggg| zdl| oyl|